Nel primo incontro di questo corso ci siamo posti alcune domande sull’infinito partendo da una scheda che ci è stata proposta:

• Che cos’è l’infinito matematico? 
• Quanti sono i numeri naturali? 
• E quelli pari? E quelli dispari? 
• Sono di più i numeri pari o i numeri dispari? 
• Sono di più i numeri naturali o i numeri pari? 
• Sono di più i numeri naturali o i numeri dispari?

Dopo aver ragionato e spremuto molto bene le nostre meningi, abbiamo concluso che per noi l’infinito matematico corrisponde ad un concetto impossibile da descrivere perché non esistono modi per rappresentarlo.  

L’insieme dei naturali è una infinità inesauribile che si ottiene aggiungendo sempre ‘uno’ all’ultimo numero determinato;

X+1

l'insegnante ci ha spiegato che si tratta di un un infinito potenziale.

La definizione di infinito potenziale per una successione di elementi è appunto questa:  la possibilità di procedere sempre oltre senza che ci sia un ultimo elemento.

Un pò di storia

Se immaginiamo di rappresentare graficamente la successione dei numeri naturali, dovremmo raffigurare una serie di punti separati (ed equidistanti) che si susseguono senza fine perché sarà sempre possibile aggiungerne ancora uno.

Si tratta di una successione infinita discreta: fatto un passo è ben chiaro quale deve essere il successivo, tra due elementi consecutivi c’è uno stacco netto, c’è il “vuoto”.

I numeri naturali sono infiniti.

Pensiamo ora ai quadrati perfetti 1, 4, 9, 16, 25, …. Quanti sono? Ovviamente ancora infiniti!

La prof. allora ci ha chiesto:"Ma quanti sono rispetto a naturali?"

La nostra risposta:"Mancano il 2 il 3, 5...quindi sicuramente meno! Ma sono ugualmente infiniti." Strano!!!!

Allora la prof: "Il primo a rendersi conto che c’era qualche cosa di strano in tutto questo fu Galileo (1638). I quadrati sono solo una parte dei numeri naturali. È però possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra l’insieme dei naturali e l’insieme dei quadrati, cioè una corrispondenza nella quale ad ogni numero naturale corrisponda uno ed un solo quadrato. Questo a Galileo parve un paradosso: il fatto che nell’infinito è possibile avere una parte, per esempio l’insieme dei quadrati , che ha lo stesso numero di elementi del tutto. Galileo non riuscì a trovare una soluzione e questo lo portò come matematico, a negare, la possibilità di indagare l’infinito."

Uffa! La matematica è decisamente difficile! Chissà di cosa stava parlando la prof!

Allora la prof., per chiarirci le idee (anche se ce le ha del tutto confuse), ci ha introdotto il concetto di

CORRISPONDENZA BIUNIVOCA

 In pratica significa che dati due insiemi A e B  ad ogni elemento di A corrisponde un solo elemento di B e ad ogni elemento di B corrisponde un solo elemento di A.

Confusione totale!!!!!

Per portare questo concetto nella realtà, potremmo pensare ad un’aula scolastica:

ad ogni alunno corrisponde il suo banco e ad ogni banco corrisponde il suo alunno. Potremmo pensare anche all’insieme dei quadrati dei numeri, dove ad ogni numero naturale corrisponde uno ed un solo quadrato.

Ritornando alle domande, abbiamo capito che esiste una corrispondenza biunivoca tra i numeri naturali e i numeri pari o dispari, affermando che entrambi sono infiniti.

Esempi di corrispondenze biunivoche

All’infinito non possiamo contare, possiamo tuttavia confrontare i due insiemi coinvolti, stabilire ove possibile una corrispondenza biunivoca tra di loro e dedurre in tal caso che hanno lo "stesso numero" di elementi. È esattamente quello che fa Galileo nella trattazione del suo paradosso.