L'infinito nei numeri razionali

Ci è stato proposto questo problema: “ Quanti numeri razionali ci sono tra 3/7 e 4/7 ?”.

Le nostre risposte  si sono divise equamente tra 1 e nessuno.

Nella risoluzione la prof è andata per gradi:  è ripartita dalla rappresentazione di un razionale sulla retta numerica scegliendo una opportuna unità di misura,ci siamo così resi conto che frazioni come 1/2, 2/4, 3/6, 6/12...   sono rappresentate dallo stesso punto.

La prof ci ha richiamato la definizione di frazioni equivalenti.

Siamo poi passati alla risoluzione del problema, l’unità è stata divisa in 7 parti uguali  (abbiamo indicato con A  il punto corrispondente a 3/7  e con B il punto corrispondente a 4/7), ma abbiamo notato che era possibile suddividerla anche in 14, 28, 56,…parti uguali.

Il punto A proviene non solo da 3/7, ma anche da 6/14, 12/28, 24/56  così come il punto B proviene, oltre che da 4/7 , da 8/14, 16/28, 32/56.

Si riconosce cos che tra 3/7 e 4/7 è compreso ad esempio il numero 7/14. Abbiamo continuato ripetendo più volte il procedimento.

Il processo, che in linea teorica non ha fine, conduce ad intuire che tra due numeri razionali ne è sempre compreso un terzo, e quindi infiniti.

Questa proprietà, che distingue l’insieme dei numeri razionali dall’insieme degli interi e da quello dei naturali, si esprime dicendo che l’insieme dei razionali è Denso. Si può notare come in questo insieme non si può parlare di precedente e di successivo di un numero.

La densità ci mette di fronte ad una nuova esperienza di infinito: non lo troviamo più solo in uno spazio illimitato come per i naturali, ma lo troviamo in un qualunque intervallo limitato dei razionali.

Abbiamo lasciato Galileo nel 1600, passa un bel po’ di tempo e arriviamo nel 1900 quando un matematico, Georg Cantor (1845 – 1919) è riuscito a dimostrare che l’insieme dei numeri razionali può essere posto in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei numeri naturali.

Il procedimento utilizzato da Cantor è detto "diagonalizzazione" e dimostra che l’insieme Q dei numeri razionali è numerabile.

Proviamo a vedere come funziona.

Per prima cosa ricordiamo che ogni numero razionale può essere scritto sotto forma di frazione e che frazioni equivalenti sono lo stesso numero razionale.

Costruiamo la seguente tabella delle frazioni, infinite righe e infinite colonne: nella prima colonna tutte la frazioni con numeratore 1, nella seconda quelle con numeratore 2 e così via.

Se percorriamo gli elementi della tabella seguendo le frecce troviamo  una corrispondenza biunivoca tra le frazioni positive e l'insieme dei numeri naturali.

A noi è sembrato un bel trucco! 

Forte questo Cantor!